ガウス の 消去 法。 掃き出し法で連立方程式を解く手順とコツを解説

ガウスの消去法をCで作ろう

ガウス の 消去 法

2つの行を入れ替える• ある行を定数倍する• ある行の定数倍を他の行に加える 行列式に対する行基本変形では行列式の値が変化したが、掃き出し法における行基本変形では解に変化はない。 このことは通常の連立方程式の解き方との対比を考えれば当然である。 ただし、行基本変形の前後で拡大係数行列は別物なので、行列式のときのようにイコールで結ぶことはできない。 単位行列をつくる 拡大係数行列を、次のように書くことにする。 具体的な連立方程式の解を計算して、掃き出し法の使い方を理解しよう。 (変形の詳細は省略した) 逆行列の求め方 掃き出し法を用いると、連立方程式の解だけでなく逆行列を簡単に求めることもできる。 縦線の左側が単位行列になったとき、縦線の右側が求める逆行列になっている。 具体例で確認していく。 例題(逆行列) 先の例題と同じ問題を、逆行列を通じて計算してみる。

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掃き出し法で連立方程式を解く手順とコツを解説

ガウス の 消去 法

ガウスの消去法(ガウスのしょうきょほう、: Gaussian elimination)あるいは 掃き出し法(はきだしほう、: row reduction)とは、を解くためのであり、通常は問題となる連立一次方程式の係数からなるに対して行われる一連の変形操作を意味する。 同様のアルゴリズムは歴史的にはにで初めて記述された。 連立一次方程式の解法以外にも• のの計算• の計算• 正則行列のの計算 などに使われる。 このアルゴリズムは、大きな方程式系を系統的な方法で小さな系へ分解する方法を与えるものと理解することができ 、基本的には、前進消去と後退代入という2つのステップから成る。 行列に対して掃き出し法を行う為には、を行列に可能な限り繰り返し行って行列の左下部分の成分を全て 0 にする。 行に関する基本変形には、• 二つの行を入れ替えるもの• ある行を0でない定数倍するもの• ある行に他のある行の定数倍を加えるもの の三種類の操作があり、必ず行列を上三角型に変形することができる。 実際には、ゼロでない成分を持つ行が、ゼロしか成分に持たない行よりも上に位置し、主成分(行内の 0 でない成分のうち最も左にあるもの)が、その行の上にある行の主成分よりも、真に右側に位置するに変形される。 特に全ての主成分が 1 になり、主成分を含む列にある主成分以外の成分が 0 であるとき、この行列はであると呼ばれる。 この最終形は一意的であり、どのような行基本変形が行われたかには依存しない。 例えば、次の様な行基本変形の繰り返し(各ステップで複数の基本変形を行っている)で、三番目と四番目は共に行階段形であるが、最後の四番目が一意に定まる行簡約階段形である。 ガウスの消去法という用語を上三角形または(簡約とは限らない)行階段形へ変換する手法を指すこともある。 連立一次方程式の解を求める際に行基本変形を完全に簡約化する前に止めてしまう方が、計算上の理由から良いとされる場合もある。 基本的な考え方 [ ] 次の n 元 m連立一次方程式を考察する。 右側にある行列がその拡大係数行列である。 同様に右側にある行列がその拡大係数行列である。 ただし簡単の為、変数の番号を付け替えることなしに主成分がすべて対角線にあるものと仮定する。 しかし一般的には、このような仮定の下で作業を行っても次の形の行簡約階段形にしか変形できない。 これを行列の言葉で言えば、拡大係数行列を行簡約階段形にまで変形せずに途中で止めてしまう方がより現実的であるということになる。 つまり、拡大係数行列が次の形の行階段形に変形された時点で、それ以上の簡約化を止めるのである。 例 [ ] 次の連立一次方程式の解を拡大係数行列を用いずにガウスの消去法のアルゴリズムで求めてみる。 式の本数が固定されていること、式の入れ替えもまた一つの操作であることに注意すべきである。 まず 前進消去をする。 2 番目の方程式に 1 番目の方程式の -4 倍を足す。 3 番目の方程式に 1 番目の方程式の -2 倍を足す。 4 番目の方程式に 1 番目の方程式の -3 倍を足す。 3 番目の方程式に 2 番目の方程式の -2 倍を足す。 4 番目の方程式に 2 番目の方程式の -1 倍を足す。 3 番目の方程式と 4 番目の方程式を入れ替える。 次に 後退代入をする。 一般的なアルゴリズムについては、たとえば , p. 96 を見よ。 注意 [ ]• が 0 になる場合には、(ピボット選択)という式の交換を行う必要がある。 対角成分が 0 になる場合以外でも、対角成分が絶対値が最大の係数になるように枢軸選択を行ったほうが、解のが少なくなる。 ただし、これは行列要素の絶対値が同程度の大きさの場合のみ成り立ち、スケーリングを行わずに枢軸選択を行うとむしろ精度が悪化する場合もあるため、注意が必要である• には部分選択法と完全選択法がある。 絶対値が最大の係数を探索する範囲が、部分選択法は掃出し列(下方向)のみであるのに対し、完全選択法ではすべての項目(右および下方向)である。 完全選択の方が計算精度は高いが計算速度およびアルゴリズムの複雑化の面で不利であるため、完全選択法の採用は現実には少ない。 に対してガウスの消去法のステップを行うとを損なう。 前進消去の段階においてを目指して、後退代入を行わずに x を直接計算する方法は ガウス・ジョルダンの消去法( Gauss-Jordan elimination)と呼ぶ。 アルゴリズムは単純になるが、は多くなる(変数が多い場合、ほぼ 1. 5 倍になる)。 脚注 [ ]• , p. , p. , p. 参考文献 [ ]• コルテ, B. 、フィーゲン, J. 『』シュプリンガー・ジャパン、2009年、第2版。 Schrijver, Alexander 1998. Wiley-Interscience series in discrete mathematics and optimization. Wiley. 関連項目 [ ]•

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ガウスの消去法プログラム

ガウス の 消去 法

2つの行を入れ替える• ある行を定数倍する• ある行の定数倍を他の行に加える 行列式に対する行基本変形では行列式の値が変化したが、掃き出し法における行基本変形では解に変化はない。 このことは通常の連立方程式の解き方との対比を考えれば当然である。 ただし、行基本変形の前後で拡大係数行列は別物なので、行列式のときのようにイコールで結ぶことはできない。 単位行列をつくる 拡大係数行列を、次のように書くことにする。 具体的な連立方程式の解を計算して、掃き出し法の使い方を理解しよう。 (変形の詳細は省略した) 逆行列の求め方 掃き出し法を用いると、連立方程式の解だけでなく逆行列を簡単に求めることもできる。 縦線の左側が単位行列になったとき、縦線の右側が求める逆行列になっている。 具体例で確認していく。 例題(逆行列) 先の例題と同じ問題を、逆行列を通じて計算してみる。

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