スターリング の 公式。 Stirlingの詳細情報 : Vector ソフトを探す!

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スターリング の 公式

ガンマ関数の応用 ガンマ関数の応用 において、登場したガンマ関数であるが、その汎用性は極めて高い。 ここでは、ガンマ関数の応用として、• スターリングの公式• 相反公式 相補公式• 倍数公式• 球の体積 に関して解説する。 相反公式 相補公式 と倍数公式は、 ゼータ関数の双対性の式を導出する際に用いるのだが、 その導出過程が載っているテキストは少ない。 ましてや、複素積分を用いない場合はより限られるだろう。 スターリングの公式 ガンマ関数は、階乗を実数・複素数の領域まで拡張したものである、と述べた。 しかしながら、階乗は極めて巨大な数であり、例えば、70の階乗 70! は、 10の100乗 10 100 であるgoogol を参照 に匹敵する、という。 こうした巨大数を扱う場合の常套手段として、その自然対数を考えてみる。 以下、次の様に変形する。 階乗は、総積記号で表せる。 総和記号を積分にして、離散和を連続和にする。 部分積分を用いて、対数関数の積分を行う。 この方針に従って、計算すると、 と近似される。 最終的に得られた近似式を「スターリングの公式」と呼ぶ。 スターリングの公式には、より精度の高い近似式として、 が存在する。 最後の式変形にて、再び変数を uから tに戻しておいた。 また、「無限等比級数とテイラー展開」の記事で述べたように、 であるから、従って、 の様に式変形できる。 そもそも余弦関数は偶関数なので、 b n=0となって、 ここで、加法定理: の辺々を組み合わせて、積和の公式: を得られ、これを用いて、 を得る。 従って、 f x =cos sxのフーリエ級数展開は、 で表せるが、ここで、 x=0とすると、 となる。 両式の結果を照合して、相反公式: を得る。 ヤコビアンとガウス積分 本題に入る前に、準備として、ヤコビアンとガウス積分について述べる。 ガウス型関数 ガウシアン の積分を「ガウス積分」と呼ぶ。 ガウス積分: の積分変数を xと書いても、 yと書いても、定積分の値 I は変わらない筈だ。 即ち、両者の辺々を掛け合わせ、先程のヤコビアンを用いれば、極座標の二重積分に変換できて、 と求めることが出来る。 さらに、両辺を aで微分すると、 という式が得られる。 一般に、両辺を aで n回微分すると、 となる。 ダブル階乗!! は、偶数のみ、奇数のみの階乗、の様に、 一つ置きの総積を意味する。 以下、ガウス積分の公式をまとめる。 球の体積 半径が aの球の体積を考える。 ところで、「クォドラティック・スフィア quadratic sphere 」とは何であろうか。 これは、「2次元の quadratic 」、「球 sphere 」、即ち、円 circle のことを指す。 逆に、円の面積は「2次元の球の体積 V 2」である、とも考えられる。 つまり、先程求めた球の体積は、「3次元の球の体積 V 3」に他ならない。 一般的には、この「3次元の球の体積 V 3」を「球の体積」と呼んでいるに過ぎない。 では、その定義を拡張して、任意の次元 d に対して、その球の体積 V dを半径 rの式で 表すことが出来るのではないだろうか。 なお、この d は、次元 dimension の頭文字である。 次に、 V 2や V 3を微分した場合を考えよう。 これらを、それぞれ S 2、 S 3と呼ぶことにすると、 となって、一般的には、 S 2は円周、 S 3は球の表面積と呼ばれる。 ここでは、これらを、「2次元の球の表面積 S 2」、 「3次元の球の表面積 S 3」と呼ぶ。 即ち、この定義も拡張して、任意の次元 d に対して、その球の表面積 S dを と表すことが出来る。 d次元空間全域を覆い尽くす積分は、次の d 重積分: 及び、 d 次元の球の表面積 或いは、球殻 S dの半径 rに対する積分: による重ね合わせの二通りで表現できる。 勿論、二通りの表現の結果は等しくなるはずだから、係数: が得られる。 従って、 d 次元の球の体積 V d及び、 表面積 S dは、 で与えられることが分かる。 しかし、このままの形式だと、ガンマ関数の変数が、次元 d が偶数のときは、整数になるが、 次元 d が奇数のときは、半整数になり、扱いにくいので、場合分けして考えることにする。 例えば、 d=1のときを考えると次式の様になる。 0以上の整数 n=0, 1, 2, …に対して、 d=2 n 偶数 のとき、 であり、 d=2 n+1 奇数 のとき、 となる。 但し、ダブル階乗!! は、偶数のみ、奇数のみの階乗、の様に、 一つ置きの総積を意味する。 d=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6に対して、 具体的に球の体積及び表面積を求めると、以下の様になる。 参考文献• 「物理のための応用数学」(裳華房、1988年).

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概要 [ ] スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。 故に、次によい近似の ()は n! ) n! の漸近近似よりもむしろ上下からの評価が必要なことがある。 5066... 71828... の間にある。 導出 [ ] 初等的な導出 [ ] スターリングの公式の厳密な証明には、あるいはといった複素解析の技法などを用いられることが多いが、初等的に導くことも可能である。 まず階乗のを積分で近似する。 2 n 2 n! 2 n 2 n! 2 n 2 n! 精度の改善 [ ] 精度を改善するために a n を評価する。 (無限和は収束しないので、この公式はにすぎないことに注意する。 なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。 収束級数形式のスターリングの公式 [ ] の John Canton への書簡がににより公表されている。 それによると、スターリングの公式はではないとされていた。 スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。 以上から次のようなスターリング級数が得られる。 計算機向けの変形 [ ] ガンマ関数の(関数電卓などの)計算機向けの近似として次の式がある。 この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。 2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機(電卓など)でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した。 こちらはより単純である。 より正確な形式はジャック・ビネが見出した。 スターリングの近似の「一次」バージョン n! これは多量のや振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。 この近似はでよく使われ、例えばとも使っている。 とは違う方式を採用した。 非常に大きな n について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。 脚注 [ ]• 「」第I章 数学的補助手段 3節 漸近展開 p. , p. Toth, V. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function. , modified 2006• 参考文献 [ ]• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. 1964. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series. Andrews, George E. ; Askey, Richard; Roy, Ranjan 1999. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. 4 Stirling's Asymptotic Formula"• Paris, R. , and Kaminsky, D. , Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001• Whittaker, E. ; Watson, G. 1996. Reprint of the fourth ed. 外部リンク [ ]• Elic W. Weisstein, at• by Timothy Jones.

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全射の個数の証明とベル数

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ガンマ関数の応用 ガンマ関数の応用 において、登場したガンマ関数であるが、その汎用性は極めて高い。 ここでは、ガンマ関数の応用として、• スターリングの公式• 相反公式 相補公式• 倍数公式• 球の体積 に関して解説する。 相反公式 相補公式 と倍数公式は、 ゼータ関数の双対性の式を導出する際に用いるのだが、 その導出過程が載っているテキストは少ない。 ましてや、複素積分を用いない場合はより限られるだろう。 スターリングの公式 ガンマ関数は、階乗を実数・複素数の領域まで拡張したものである、と述べた。 しかしながら、階乗は極めて巨大な数であり、例えば、70の階乗 70! は、 10の100乗 10 100 であるgoogol を参照 に匹敵する、という。 こうした巨大数を扱う場合の常套手段として、その自然対数を考えてみる。 以下、次の様に変形する。 階乗は、総積記号で表せる。 総和記号を積分にして、離散和を連続和にする。 部分積分を用いて、対数関数の積分を行う。 この方針に従って、計算すると、 と近似される。 最終的に得られた近似式を「スターリングの公式」と呼ぶ。 スターリングの公式には、より精度の高い近似式として、 が存在する。 最後の式変形にて、再び変数を uから tに戻しておいた。 また、「無限等比級数とテイラー展開」の記事で述べたように、 であるから、従って、 の様に式変形できる。 そもそも余弦関数は偶関数なので、 b n=0となって、 ここで、加法定理: の辺々を組み合わせて、積和の公式: を得られ、これを用いて、 を得る。 従って、 f x =cos sxのフーリエ級数展開は、 で表せるが、ここで、 x=0とすると、 となる。 両式の結果を照合して、相反公式: を得る。 ヤコビアンとガウス積分 本題に入る前に、準備として、ヤコビアンとガウス積分について述べる。 ガウス型関数 ガウシアン の積分を「ガウス積分」と呼ぶ。 ガウス積分: の積分変数を xと書いても、 yと書いても、定積分の値 I は変わらない筈だ。 即ち、両者の辺々を掛け合わせ、先程のヤコビアンを用いれば、極座標の二重積分に変換できて、 と求めることが出来る。 さらに、両辺を aで微分すると、 という式が得られる。 一般に、両辺を aで n回微分すると、 となる。 ダブル階乗!! は、偶数のみ、奇数のみの階乗、の様に、 一つ置きの総積を意味する。 以下、ガウス積分の公式をまとめる。 球の体積 半径が aの球の体積を考える。 ところで、「クォドラティック・スフィア quadratic sphere 」とは何であろうか。 これは、「2次元の quadratic 」、「球 sphere 」、即ち、円 circle のことを指す。 逆に、円の面積は「2次元の球の体積 V 2」である、とも考えられる。 つまり、先程求めた球の体積は、「3次元の球の体積 V 3」に他ならない。 一般的には、この「3次元の球の体積 V 3」を「球の体積」と呼んでいるに過ぎない。 では、その定義を拡張して、任意の次元 d に対して、その球の体積 V dを半径 rの式で 表すことが出来るのではないだろうか。 なお、この d は、次元 dimension の頭文字である。 次に、 V 2や V 3を微分した場合を考えよう。 これらを、それぞれ S 2、 S 3と呼ぶことにすると、 となって、一般的には、 S 2は円周、 S 3は球の表面積と呼ばれる。 ここでは、これらを、「2次元の球の表面積 S 2」、 「3次元の球の表面積 S 3」と呼ぶ。 即ち、この定義も拡張して、任意の次元 d に対して、その球の表面積 S dを と表すことが出来る。 d次元空間全域を覆い尽くす積分は、次の d 重積分: 及び、 d 次元の球の表面積 或いは、球殻 S dの半径 rに対する積分: による重ね合わせの二通りで表現できる。 勿論、二通りの表現の結果は等しくなるはずだから、係数: が得られる。 従って、 d 次元の球の体積 V d及び、 表面積 S dは、 で与えられることが分かる。 しかし、このままの形式だと、ガンマ関数の変数が、次元 d が偶数のときは、整数になるが、 次元 d が奇数のときは、半整数になり、扱いにくいので、場合分けして考えることにする。 例えば、 d=1のときを考えると次式の様になる。 0以上の整数 n=0, 1, 2, …に対して、 d=2 n 偶数 のとき、 であり、 d=2 n+1 奇数 のとき、 となる。 但し、ダブル階乗!! は、偶数のみ、奇数のみの階乗、の様に、 一つ置きの総積を意味する。 d=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6に対して、 具体的に球の体積及び表面積を求めると、以下の様になる。 参考文献• 「物理のための応用数学」(裳華房、1988年).

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