確率 漸 化 式 は なお。 確率(漸化式)

確率(漸化式)

確率 漸 化 式 は なお

大学入試に出題される漸化式に関する問題の中で,漸化式が与えられて,その一般項を求める問題について,漸化式の形で分類すると12のパターンに分けることができました。 一部の問題については,定積分で表されていたり,特殊な式で設定されていたりして,分類不能なため,12パターンから除外しています。 2006年~2019年に主要な大学で出題された漸化式の問題は全部で約700問ありました。 その中で約530問が漸化式が与えられて一般項を求める問題でした。 すべての問題に目を通して,パターンに分類して出題率を算出しました。 指導者が異なれば,パターンの分類の仕方も異なるため,あくまでも1つのデータとして,こんな感じで出題されているのかぁと軽い気分で見て下さい。 パターン8:数列の項に関する和を含む漸化式 【出題率2位】 パターン8は数列の項の和を含む漸化式です。 個人的に,これは厳しい問題だなぁと思うのは,パターン8の解法にしたがって変形するとパターン7になるタイプです。 簡単になると思ったら逆に難しくなった,みたいに感じるでしょう。 また,パターン8は様々な問題集やサイトで軽く扱われがちですが,出題率は12~14%でパターン3に次いで多く出題されています。 入試では頻出であるにもかかわらず,青チャートの「漸化式MAP」にパターン8は載っていません。 意識して対策することが重要かもしれません。

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漸化式の入試問題約530問を12のパターンに分類【出題率1位は意外な結果】

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文章から漸化式を作る問題 ex. 確率漸化式) ここまでは、「与えられた漸化式の一般項を求める」問題について見てきました。 しかし実際の入試問題ではそれだけではなく、「文章を読み解き漸化式を作る」問題も出題されます。 典型的な例が確率と漸化式が組み合わされた「確率漸化式」と呼ばれる問題です。 「連続して試行を行う」ときは漸化式を疑おう 漸化式を作って解く問題の特徴は、「連続して試行を行う」「n回目の確率、場合の数を問う」「試行を行うごとに状態が変化していく」等です。 実際に例を見てみましょう。 「n回目にコインが奇数枚か偶数枚か」ということにこだわってしまうとこの問題を解くことはできません。 これは、さっき見た漸化式の解き方のうち「1次の特性方程式を解いて解く」パターンです。 と合わせて となります。 まとめ 漸化式について最後に 実際に入試に出てくる漸化式の解き方や、文章題での漸化式の作り方について見てきました。 特に最後の文章題は、理系の受験生にとっては合否を左右するとても大事なポイントです。 この記事で学んだ漸化式を作る上での考え方は、どんな難しい問題を解くときにも役立ちます。 漸化式を攻略して周りの受験生に差をつけましょう!.

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北海道大学 文系

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確率漸化式とは? 確率を求める過程で数列の漸化式が出てくるもの 確率漸化式とは、確率を求める上で出てくる、数列の分野で習う漸化式のことを指します。 確率漸化式の問題では、確率と数列の2分野にまたがった出題をすることができるため、 数学の総合力を問いやすく、大学受験ではよく出題されます。 受験生にとっては、確率と数列をどちらもしっかりと理解していないと解けない問題であるため、躓きやすい分野だと言えます。 理系の場合には、求めた確率の極限値を問われることもしばしばあります。 この記事で扱う問題は1つ目は理系で出題された非常に簡単な問題、2つ目は文系でも出題された問題なので、文系の受験生にも必ず習得してほしい問題です。 東大の入試問題の良問を解いて確率漸化式を学ぼう 参考書の中で確率漸化式の問題を探して解いていくのは非効率的です。 この記事では、東大で過去に出題された入試問題の良問を軸にして、確率漸化式の習得を目指します。 以下がその問題です。 ある程度確率漸化式について学んでいるという人はこれらの問題を実際に解いてみましょう。 問題1 正四面体と確率漸化式 問題2 正三角形の9個の部屋と確率漸化式 確率漸化式の解き方は? まだ確率漸化式についての理解が浅いという人は、これから確率漸化式の解き方について説明していくので、それを元にして、上の例題を考えてみましょう! n回の操作後の確率を数列として文字で置く まずは、 確率を数列として文字で置くという作業が必要です。 これは すでに問題文中で定められていることも多いですが、上の問題1や問題2では定められていないので自分で文字で置く必要があります。 言葉で説明しても上手く伝わらないので、以下で例を挙げてみます。 そして、状態A以外の状態をBと名付けます。 すなわち、 遷移図とは毎回の操作によって確率がどのように分配されていくのかを表した図だということです。 遷移図を元に漸化式を立てて解く 遷移図が描けたら、それを元に漸化式を立てます。 上の遷移図からは、 という漸化式を立てることができますね。 あとは、漸化式を解くだけです。 漸化式を解く際には初項を求める必要があるので、必要に応じて適当な確率計算をして初項を求める必要があります。 漸化式の解き方がまだあやふやだという人はこちらの記事で漸化式の解き方を学んでくださいね。 確率漸化式を解く時の5つのポイント・コツ 確率漸化式を解く流れは上で説明した通りですが、 確率漸化式を解くにはいくつかのポイントがあります。 また、 ちょっとしたコツを知っておくだけで計算量を減らすことができて、結果的に計算ミスの防止に繋がります。 それらのポイントやコツについて説明していきたいと思います。 対称性・偶奇性に注目して文字の数を減らす 確率漸化式を解く上で最も重要なポイントは、文字の数をなるべく減らしておくということです。 例えば、上で挙げた 問題1では、正四面体の4面のうち、初めに平面に接していた平面だけを特別視しており、それ以外の3面は対称です。 つまり、最大でも2文字置けば十分ということですね。 偶奇性というのは、偶数回の操作を行った時、奇数回の操作を行った時をそれぞれ別個に考えると、推移の状況が単純化されるというものです。 そのため、偶数秒後と奇数秒後を分けて考えることによって、存在しうる部屋の数が限定されて、文字の数を減らすことができそうです。 すべての確率を足すと1になる条件を忘れないようにする これはだいぶ初歩的なことなんですが、 確率をすべて足し合わせた時にその確率は1になるという非常に当たり前の条件を忘れてしまって行き詰まるということが、確率漸化式を習いたての人にはしばしば起こるようです。 3種類以上の数列の連立漸化式を解くことはほとんどない 対称性と偶奇性、確率を足すと1になるという条件などなどをすべて考慮していけば、 連立漸化式を解く状況になったとしても、3種類以上の数列が含まれた連立漸化式を解くことはほとんどありません。 以前は「絶対にない」と断言していたのですが、2018年度東工大第5問で4種類の数列の連立漸化式を解かせる問題が出題されているとの情報をいただきました。 これは、 高校の教科書で漸化式の解き方を習う上で3文字以上の連立漸化式を扱わないことが理由だと思われます。 このように、 極限値の推定ができるとき、その極限値と一致しているか確かめることによって、検算の一助になるわけです。 以下で、東大の過去問2題を例にして確率漸化式の解き方について学んでいきます。 東大の過去問では難しすぎる!もっと色んな問題を解きたい!という方には、「 解法の探求・確率」という参考書がおすすめです。 確率漸化式はもちろん、確率全般について網羅的に学べる良書です。 問題1 正四面体と確率漸化式 の解答・解説 問題1の解答と解説を始めていきましょう!数学は適切な指針を立てられるようになることが最も重要ですから、 まず解説を書いてから、そのあと私が作ってみた模範解答を載せようと思います。 問題1を解く上でのポイント まずは、文字設定を行っていきましょう。 説明を短くするために、以下では、最初に接していた面をAと呼ぶことにします。 また、正四面体なので、対称性に着目すると良さそうです。 さて、文字設定ができたら、次は遷移図を書きましょう。 したがって、遷移図は以下のようになります。 これを元に漸化式を立てることができますね! という漸化式が立つので、これを解いてあげればOKです。 ちなみに当たり前すぎることですが、 の方を選んで漸化式を立てたとしても変形すれば全く同じ式になります。 どっちで漸化式を立てればいいんだろうとか悩まないでくださいね。 問題1の模範解答 私が実際に答案を作るなら、以下のようになります。 はじめに平面に接していた面をAと名付ける。 問題2 正三角形の10個の部屋と確率漸化式 の解答・解説 問題1はかなり簡単な確率漸化式の問題ですが、問題2はこの記事で述べた解き方、ポイント、コツを集約したような素晴らしい良問です。 これをマスターしていれば、確率漸化式の大事な部分はほぼ理解したと言ってよいでしょう。 問題2を解く上でのポイント まずは、文字設定を行っていきましょう。 部屋が10個あるからといって、10文字も置くようなことはしてはいけませんよね。 正三角形は左右対称になっており、その中心にPの部屋があるので、中心軸に関して対称な部屋はまとめて扱うことができます。 よって、下図のようにA〜EとPの6種類の部屋に分けて考えれば良さそうです。 さて、これらそれぞれの部屋にいる確率を文字で置いてしまうと、すべての確率を足したときに1になるということを考慮しても 5文字設定する必要が出てきてしまい、 「3種類以上の数列の連立漸化式を解くことはほとんどない」という上で述べたポイントに反してしまいます。 そこで、 偶奇性に着目すれば、もっと文字数を減らせるのではないかと考えます。 6種類の部屋を「PとC」、「AとBとDとE」の2グループに分けて見てみると始めは球は前者のグループにあり、1秒後には後者のグループ、2秒後は前者のグループ… というように、 球はこの2つのグループを1秒毎に交互に行き来していることが容易にわかります。 このように偶数秒後と奇数秒後で球が存在する部屋が限られているという事実はによって証明すればよいでしょう。 あとは、遷移図を描いて、漸化式を立てて、それを解いてあげれば確率が求まります。 問題2の模範解答 私が実際に答案を作るなら、以下のようになります。 ここで、「偶数秒後はP、Cの部屋にのみ球が存在し、奇数秒後にはA、B、D、Eのみ球が存在すること」を数学的帰納法によって示す。 以上より、「偶数秒後はP、Cの部屋にのみ球が存在し、奇数秒後にはA、B、D、Eのみ球が存在すること」が示された。 まとめ 確率漸化式は、確率と数列が融合した分野であり、文字を置いて遷移図を描き、漸化式を立てて解くだけですが、対称性や偶奇性に注目するなどのポイント・コツがあることがわかったと思います。 入試でも頻出の確率漸化式ですが、一度慣れてしまえば、どんな確率漸化式の問題にも対応できるようになるので、「お得な分野」だと言えます。 ぜひ、たくさん演習問題を解いて慣れていってください。 塾・家庭教師選びでお困りではありませんか? 家庭教師を家に呼ぶ必要はなし、なのに、家で質の高い授業を受けられるという オンライン家庭教師が最近は流行ってきています。 おすすめのオンライン家庭教師サービスについて以下の記事で解説しているので興味のある方は読んでみてください。 関連する記事• 2018. 05 この記事を読むとわかること ・順像法・逆像法がどのようなものなのか ・順像法・逆像法を使った問題の解き方 ・順像法・逆像法の図解 ・順像法と逆像法の使[…]• 2018. 実は私は最近料理教室に通っていて、そこでも同じことを言われました。 2019. 14 この記事を読むと分かること ・数学的帰納法とは何か ・大学入試で使う数学的帰納法3パターン ・特殊な数学的帰納法2パターン ・数学的帰納法はいつ使うか[…] コメント (4件)•

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